Determinantes

En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Un determinante es siempre cuadrado (igual cantidad de filas y columnas), y está formado por números como una matriz, la diferencia  fundamental es que,  mientras una matriz representa un conjunto de valores que no se resuelven, un determinante si se resuelve porque representa un número.

Se del producto ab restamos el producto cd, tendremos la expresión ab – cd. Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación

Las columnas de un determinante están constituidas por las cantidades que están en una misma línea vertical. En el ejemplo anterior  a, c es la primera columna y  b, d   la segunda columna

Las filas están constituidas por las cantidades que se encuentran en una misma línea horizontal.
En el ejemplo dado, a  d  es la primera fila y   c  b   la segunda fila.

Un determinante es cuadrado cuando tiene el mismo número de columnas que de filas.

 es un determinante cuadrado porque tiene dos columnas y dos filas

El orden de un determinante cuadrado es el número de elementos de cada fila o columna.

        

son determinantes de segundo orden.

            En el determinante la línea que une   a con b  es la diagonal principal y la línea que une c con d es la diagonal secundaria. 

Los elementos de este determinante son los productos ab  y  cd, a cuya diferencia equivale este determinante.

A cada matriz cuadrada A se le asocia  un número real llamado DETERMINANTE de A que expresamos así: det (A) ó      A    y se lee determinante de A. También se lo designa con la letra griega delta D. Si la matriz dada fuese de orden 2, de orden 3 o de orden n, tendríamos determinantes de segundo orden, de tercer orden o de orden superior a tres.

Determinante de una matriz cuadrada de orden 2

Si la matriz dada es de Orden 2: 

                                                      

Se llama determinante asociado a la matriz A o determinante de segundo orden, el número real obtenido de la diferencia de los productos de los elementos de la diagonal principal y la diagonal secundaria.

EJEMPL0S:

b) Calculamos el valor d x sabiendo que el determinante es igual a 9

Verificamos

Determinante de una matriz         cuadrada de orden 3

REGLA DE LAPLACE

Dada una matriz de orden 3, se llama determinante asociado a la matriz o determinante de tercer orden, de número real que se obtiene de la suma de los elementos a _ij  de una fila (o columna ) por el determinante de una matriz de orden 2 obtenida de A al suprimir la fila y la columna donde se encuentra el elemento a_{ij ,} están  precedidos de signo ( + ) si la suma del número de fila y el número de columna (i + j) da par y están precedidos de signos ( - ), en caso contrario.

EJEMPLOS:

     

           REGLA DE SARRUS

Hemos aprendido cómo halla el determinante de una matriz de tercer orden según Laplace , en este apartado conoceremos otro procedimiento denominado “ Regla de Sarrus”, pues fue el matemático francés Pierre Sarrus (1798-1861) qien lo enunció.

 EJEMPLO:

a) Consideramos la matriz B del ejemplo a,  y calculamos nuevamente su determinante, aplicando ahora la Regla de Sarrus.

1º Se repiten las columnas 1y 2 a la derecha de la tercera (o bien las filas 1y 2 debajo de la tercera)

2º  se determinan las diagonales principal y secundaria y las otros dos paralelas a ellas.

        

3º se halla la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas y se le resta la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

     · Verificamos que por ambos procedimientos llegamos al mismo resultado.

· Un determinante es nulo si una de sus filas o columnas está formado íntegramente por cero.

· Un determinante es nulo si tiene dos filas o columnas iguales.

· Un determinante es nulo si tiene dos filas o columnas proporcionales.

· Un determinante no altera si lo transpone.

· Un determinante presenta dos filas o dos columnas, el determinante completo cambia de signo.

1.|A^t|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2. |A|=0    Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂


3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..



4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.



5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.



6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.



7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.



8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Fuentes consultadas:

Aurelio Valdor, primera reimpresión: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. 2008

Matemática Fundamental, Bonjorno

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

Regla de Zarrus 3 x 3